醫聲論壇

甲乙兩人競選代表,選舉總投票數為12票,在開票的唱票過程中,甲一路領先且沒有平手,最後甲以2票獲勝,求唱票情形有幾種?

笨一點的方式想到一個 把乙5票拆成1+1+1+1+1 2+1+1+1 3+1+1 3+2 4+1 5去填入甲7票後面的7個空格 慢慢算吧

甲贏一票，代表從原點往上移動一格，乙贏一票，代表從原點往右移動一格

甲一路領先且沒有平手
前面2票都是甲

最後甲以2票獲勝
所以是從00到55的所有路徑-不可能出現的路徑20 30 31 40 41 42 50 51 52 53
mk代表(m，k)

10C5-8C5=196

答案:132

這個"一路領先"問題，歷史很悠久了。

E大是要教小孩吧? 那麼不妨先給他提示: 畫一個 7 x 5 方格，則一種唱票過程，對應於一種左下至右上的捷徑走法。再加入"一路領先"的要求，則如何? (至此學生應有機會得出答案)

依以上的模型，可用(左下至右上的)累加法得出132，或者用"對稱線法"得 C(11,6) - C(11,7) = 132。

一般地，若甲得 a 票，乙得 b 票 (a ≥ b)，則開票過程中，甲一路領先的方法數 = C(a+b-1, a-1) - C(a+b-1, a)。

另外有一種"圓桌圖模型"，比較難懂，但結論簡明: 當甲得 a 票，乙得 b 票 (a ≥ b)，則開票過程中，甲一路領先的機率 = (a-b) / (a+b)。

若利用這個結果，本題所求 = C(12, 5) x (2/12) = 132。

感謝您的詳解,太強了.

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