大家來談相對論...

[TC]

E=mc^2

不曉得怎麼推導出來的? 最近看一本書, 好像說是把時間加進第四維(即把時空結合在一起), 再由動量公式推導出來的... 但還是沒有很懂, 不曉得有沒有更簡單的推導方法...

c 是一個常數, 剛好就是光的速度, 因為光沒有質量, 所以宇宙速度的上限就全給了光... 於是光速就等於 c 常數....

而這石破天驚的 E=mc^2 源頭是法拉第的電磁學發現, 經由馬克士威把它公式化後, 發現一個常數 c, 也就是光速...

[leonhong]

http://baike.baidu.com/view/644897.htm

高手寫的，比較容易理解的推導：

質能公式



目錄

概述
技術推法
相關公式
其他
違背了質量守恆定律



簡介


我們都知道，愛因斯坦的質能公式E=MC^2; 的推導過程所用的數學手段是如此的複雜，以致我們一般人根本看不懂。但是，我們都有這樣的經歷，做一道數學題，往往有很多種方法，並且有一些還是十分簡單，通常是事半功倍。同樣道理，我們可不可以走捷徑，弄出個E=MC^2; 來呢？
事實上是有那麼一種“不正統”的方法。咱們不妨來看一下：


實驗


想像一下，一個小球掉到鏡面會對鏡面施加一個壓力，同樣道理，一個光子打到鏡面上會不會也有一個壓力呢？在19世紀末，物理光學就清楚應該是有的，並把這種壓力叫做光壓。但是，光壓的強度是如此的小，它根本不會把鏡子推倒，所以，我們在日常生活中也就很難感覺到它的存在了。然而，太陽發出的光是那麼的強，我們可以看到，它足以推動彗星的氣體，使彗星在靠近太陽時產生一條長長的、耀眼的彗尾。


技術推法


第一步：要討論能量隨質量變化，先​​要從量綱得知思路：能量量綱[E]=[M]([L]^2）([T]^(-2）），即能量量綱等於質量量綱和長度量綱的平方以及時間量綱的負二次方三者乘積。我們需要把能量對於質量的函數形式化簡到最簡，那麼就要求能量函數中除了質量，最好只有一個其它的變量。把（[L]^2）（[T]^(-2））化簡，可以得到只有一個量綱-速度[V_]的形式：[V_]*[V_]。也就是[E]=[M][V_]*[V_] 可見我們要討論質能關係，最簡單的途徑是從速度v_下手。

第二步：先要考慮能量的變化與能量的變化有關的有各種能量形式的轉化，其中直接和質量有關的只有做功。那麼先來考慮做工對於能量變化的影響。當外力F_（後面加_表示矢量，不加表示標量）作用在靜止質量為m0的質點上時，每產生ds_（位移s_的微分）的位移，物體能量增加dE=F_*ds_(*表示點乘）。考慮最簡化的外力與位移方向相同的情況，上式變成dE=Fds

第三步：怎樣把力做功和速度v變化聯繫起來呢？也就是說怎樣來通過力的作用效果來得出速度的變化呢？我們知道力對物體的衝量等於物體動量的增量。那麼，通過動量定理，力和能量就聯繫起來了：F_dt=dP_=mdv_

第四步：上式中顯然還要參考m質量這個變量，而我們不想讓質量的加入把我們力和速度的關係複雜化。我們想找到一種辦法約掉m，這樣就能得到純粹的速度和力的關係。參考dE=Fds和F_dt=dP_，我們知道，v_=ds_/dt 那麼可以得到dE=v_*dP_ 如果考慮最簡單的形式：當速度改變和動量改變方向相同：dE=vdP

第五步：把上式化成能量和質量以及速度三者的關係式（因為我們最初就是要討論這個形式）：dE=vd(mv)----因為dP=d(mv)

第六步：把上式按照微分乘法分解dE=v^2dm+mvdv 這個式子說明：能量的增量含有質量因速度增加而增加dm產生的能量增量和單純速度增加產生的能量增量2個部分。 （這個觀點非常重要，在相對論之前，人們雖然在理論物理推導中認識到質量增加也會產生能量增量，但是都習慣性認為質量不會隨運動速度增加而變化，也就是誤以為dm恆定為0，這是經典物理學的最大錯誤之一。）

第七步：我們不知道質量隨速度增加產生的增量dm是怎樣的，現在要研究它到底如何隨速度增加（也就是質量增量dm和速度增量dv之間的直接關係）：根據洛侖茲變換推導出的靜止質量和運動質量公式：m=m0[1-(v^2/c^2）]^(-1/2） 化簡成整數次冪形式：m^2=(m0 ^2）[1-(v^2/c^2）] 化成沒有分母而且m和m0分別處於等號兩側的形式（這樣就是得到運動質量m對於速度變化和靜止質量的純粹的函數形式） ：（m^2）（c^2-v^2）=(m0^2）c^2 用上式對速度v求導得到dm/dv（之所以要這樣做，就是要找到質量增量dm和速度增量dv之間最直接的關係，我們這一步的根本目的就是這個）：d[(m^2）（c^2-v^2）]/dv=d[(m0^2）c ^2]/dv（注意式子等號右邊是常數的求導，結果為0) 即[d(m^2）/dv](c^2-v^2）+m^2[d(c ^2-v^2）/dv]=0 即[m(dm/dv)+m(dm/dv)](c^2-v^2）+(m^2）[0-2v]=0即2m(dm/dv)(c^2-v^2）-2vm^2=0 約掉公因式2m（肯定不是0，呵呵，運動質量為0？沒聽說過） 得到：（dm/ dv)(c^2-V^2）-mv=0 即(dm/dv)(c^2-V^2）=mv 由於dv不等於0（我們研究的就是非靜止的情況，運動系速度對於靜止系的增量當然不為0） (c^2-v^2）dm=mvdv 這就是我們最終得到的dm和dv的直接關係。

第八步：有了dm的函數，代回到我們第六步的能量增量式dE=v^2dm+mvdv =v^2dm+(c^2-v^2）dm =c^2dm 這就是質能關係式的微分形式，它說明：質量的增量與能量的增量成正比，而且比例係數是常數c^2。

最後一步：推論出物體從靜止到運動速度為v的過程中，總的能量增量：對上一步的結論進行積分，積分區間取質量從靜止質量m0到運動質量m，得到∫dE=∫[ m0~m]c^2dm 即E=mc^2-m0c^2 這就是物體從靜止到運動速度為v的過程中，總的能量增量。其中E0=m0c^2稱為物體靜止時候的靜止能量。 Ev=mc^2稱為物體運動時候的總動能（運動總能量）。對於任何已知運動質量為m的物體，可以用E=mc^2直接計算出它的運動動能


相關公式


1899年，俄國物理學家列別捷夫就通過實驗證明了光壓的存在，並且還發現了一個這樣的關係式，如果我們用P表示光壓，E作為光的能量，老規矩，c是光速，那麼可以得到

P=2E/c

好。現在假設單位時間t內的光子“撞”到鏡面上，並且反彈了回來，這個過程中產生的光壓為P。我們取光子“撞”向鏡面的方向為正方向。根據我們學過的哪那個動量定理（力乘以時間等於動量的變化那個），對光子來說，於是有

-Pt= -mc – mc= -2mc

負號對消

Pt=2mc

我們上面說了t是單位時間，也就是t=1，所以

P=2mc

別忘了列別捷夫的光壓公式，恩恩

2E/c=P=2mc

約去2，兩邊乘以c

E=M·C·C;

看到了沒有，這種“不正統”的方法看來還有點管用！

方法2：
理想狀態下，一個物體的能量可以轉化為它運動所消耗的能量，所以

E=W

又因為

W=Fs

所以

E=W=Fs=mas=mvs/t=mv^2

因為物體的最大運動速度是光速，v（最大）=c
所以

E=mc^2


更簡單的推法


前提條件為狹義相對論（狹義相對性原理）成立：如果K1相對於K做勻速運動而舞轉動的坐標系，那麼，自然現象相對於坐標系K1的實際演變將與相對於坐標系K的實際演變一樣依據同樣的普遍規律。

然後，根據洛侖茲變換，可得Y1=Y且Z1=Z的時候，X1與X，T1與T互為映射：X1=（X-VT）/根號（1-（V/C）^ 2），T1=（T-（VX/C^2））/根號（1-（V/C）^2）。

根據狹義相對論（狹義相對性原理），與洛侖茲變換可得E（動）=（MC^2）/（根號（1-（V/C）^2））

按照此公式接下去，當速度lim於無限小（0，或靜止）的時候E（靜）=（MC^2）/（根號（1-（0/C）^2））

（0/C）^2=0（0除以任何數=0...），根號（1-0）=1

結果出來了E（靜）=（MC^2）/1=E（靜）=MC^2即E=MC^2


其他


順便說一下，上面用的m指的是光子的質量。光子有質量？是的，我們說的是光子的引力質量，光有引力質量，而沒有慣性質量，這是相對論中的知識。正因為光沒有慣性質量，所以才能以光速運動，在廣義相對論中，光子具有引力質量。

好了，看來“不正統”的東西有時比“正統”的更容易明白。


違背了質量守恆定律


質能方程並不違反質量守恆定律，質量守恆定律是指在任何與周圍隔絕的體系中，不論發生何種變化或過程，其總質量始終保持不變。或者說，化學變化只能改變物質的組成，但不能創造物質，也不能消滅物質，所以該定律又稱物質不滅定律。而質能方程是表述了質量和能量之間關係，所以不違背質量守恆定律。質能方程的英文讀法E equals MC squared. 　E is equal to MC squared. 　也可以用解釋的方法念Energy is equal to mass multiplied by the square of the speed of light. 　

舉個例子：某人把一粒沙子以光速百分之99.7的速度扔向一堵牆壁，牆會發出巨響並出現裂縫；以光速百分之99.9扔的話那面牆將不復存在~~~ 　上面這個例子不太準確，當一粒沙子以接近光速飛行時，首先此情況要發生在真空中，否則沙子早由於與空氣的摩擦熔化掉了。其次，由於沙子速度非常高，它會直接穿過牆壁。根據動量守恆定律及質量守恆定律，設沙子質量為m1，以光速C飛行，撞擊牆壁後帶走的那部分質量為m2，其後整體速度為V，則有m1c=（m1+​​m2）V，穿過牆產生的熱量為Q=0.5m1c^2-0.5(m1+m2）V^2

[草帽小子]

太難了，放棄

[wipten]

忘光光 才是最高境界

[image]

我還是先搞懂健保局的計算公式吧

[jy5358]

相對論有狹義和廣義兩種,廣義相對論用來闡述宇宙各種現象非常成功,比如重力是空間扭曲的一種現象-難怪每次接觸老婆的身體,要離開都很難...

[micoto]

相對論有狹義和廣義兩種,廣義相對論用來闡述宇宙各種現象非常成功,比如重力是空間扭曲的一種現象-難怪每次接觸老婆的身體,要離開都很難...

這意思是指尊夫人的質量大了些 ??

[Alex]

[kwojohn]

Push...

[TC]

搜尋了一下發現有更快的解法 :

動量公式 : P(動量)=m(光子質量) x c (光速)
能量跟動量關係的公式 : P(動量)=E(能量) / c (光速)

所以 mc=E/c, 所以 E=mc^2

不過是錯的... 因為光子沒有質量....

找到這邊有人說明以上錯誤之處 :
http://au.answers.yahoo.com/question/in ... 028AAsVdI1

[forester]

我還是先搞懂健保局的計算公式吧

不合邏輯的東西會比合邏輯的東西容易懂嗎?

[TC]

好像很無聊喔....
談相對論...
當作休閒活動吧...

只是對於時間膨脹,空間收縮等現象感到不可思議, 這世界的本質是什麼?

[kcfc]

Sorry!

我不小心
路過

[newshine]

相對論
和質能互換
是同一個議題嗎


感覺上前者是在討論相對運動和時間的問題

[TC]

相對運動在古典物理學是用伽利略變換(高中數學), 到了狹義相對論就要用羅倫茲變換, 要再乘一個羅倫茲因子.

相對運動的伽利略變換 :

x' = x-vt
y' = y
z' = z
t' = t

相對運動的羅倫茲變換 :



羅倫茲因子 r (gamma) :



所以當 v 極小, v/c 接近 0, 那羅倫茲變換就等於古典物理學的伽利略變換....

[TC]

相對論
和質能互換
是同一個議題嗎


感覺上前者是在討論相對運動和時間的問題

是有關的喔, 從四維座標重新看動量公式, 慢慢導出 E=mc^2...

這邊有一篇寫得不錯:
http://boson4.phys.tku.edu.tw/high-scho ... ivity.html

[newshine]

相對論
和質能互換
是同一個議題嗎


感覺上前者是在討論相對運動和時間的問題

是有關的喔, 從四維座標重新看動量公式, 慢慢導出 E=mc^2...

這邊有一篇寫得不錯:
http://boson4.phys.tku.edu.tw/high-scho ... ivity.html

看起來還是當一隻無知的小螞蟻就好啦

[GordonRamsay]

Ａ質能互換
也就是大家熟悉的 E=mc^2

Ｂ任何物體都無法超越光速
由於光速是一個常數
所以時間長度會隨著速度而變化

不是物理專業的懂到這裡即可。

[jy5358]

Ａ質能互換
也就是大家熟悉的 E=mc^2

Ｂ任何物體都無法超越光速
由於光速是一個常數
所以時間長度會隨著速度而變化

不是物理專業的懂到這裡即可。

速度變快,空間會收縮,時間會變慢,不知對不對?難怪比較積極的人看起來都比較年輕...

[leonhong]

搜尋了一下發現有更快的解法 :

動量公式 : P(動量)=m(光子質量) x c (光速)
能量跟動量關係的公式 : P(動量)=E(能量) / c (光速)

所以 mc=E/c, 所以 E=mc^2

不過是錯的... 因為光子沒有質量....

找到這邊有人說明以上錯誤之處 :
http://au.answers.yahoo.com/question/in ... 028AAsVdI1

P=mc是用相對論證明出來的

[TC]

搜尋了一下發現有更快的解法 :

動量公式 : P(動量)=m(光子質量) x c (光速)
能量跟動量關係的公式 : P(動量)=E(能量) / c (光速)

所以 mc=E/c, 所以 E=mc^2

不過是錯的... 因為光子沒有質量....

找到這邊有人說明以上錯誤之處 :
http://au.answers.yahoo.com/question/in ... 028AAsVdI1

P=mc是用相對論證明出來的

不是吧? 動量 = 質量 x 速度....
p = m v

[TC]

這個講座講得很不錯:

http://www.youtube.com/watch?v=48YhlYzq ... 7722677CEA